La multiplication est commutative !

La multiplication  des entiers est commutative : vous êtes d’accord ?

Pour le démontrer (proprement) on utilise les axiomes de Peano et la récurrence (je laisse le lecteur faire cette démonstration).

Je considère  maintenant  l’algorithme « ordinaire » de multiplication pour des chiffres écrits en base 2.

Question : Pourquoi cet algorithme est-il commutatif?

Voici par exemple la multiplication \(55\times 9=495\) écrite en base 2:
\[ \begin{array}{ccccccccc}
&&&1&1&0&1&1&1\\ &&&&& 1 & 0 & 0&1 \\ \hline &&&1&1&0&1&1&1 \\ 1&1&0&1&1&1&&& \\ \hline  1&1&1&1&0&1&1&1&1 \end{array} \]
Et nous pouvons ausi l’écrire
\[ \begin{array}{ccccccccc}
 &&&&&1&0&0&1 \\ &&&1&1&0&1&1&1 \\ \hline &&&&&1&0&0&1 \\&&&&1&0&0&1& \\&&&1&0&0&1&& \\&1&0&0&1&&&& \\1&0&0&1&&&&& \\ \hline  1&1&1&1&0&1&1&1&1 \end{array} \]
Si on regarde les deux déroulements de l’algorithme il n’est pas du tout évident que les deux résultats soient identiques !

Regardons les sommes (en décimal) de chacune des 8 colonnes : On trouve le même résultat dans les deux cas (c’est facile à démontrer) :
\[ \begin{array}{ccccccccc} 1&1&0&2&2&1&1&1&1 \end{array} \]
et c’est cela qui garantit le même résultat dans les deux cas ! Les sommes par colonnes sont identiques dans les deux cas. Ceci n’est pas du à la base 2 employée dans mon example. C’est vrai dans n’importe quelle base de numération (vous pouvez vérifier).