Retour sur le critère de Cohn

Dans l’article précédent on a considéré l’application
\[f_b:Z\rightarrow Z[X]\]
qui à tout entier $u\in Z$ dont l’écriture en base $b = 2$ (on peut prendre une autre base si l’on veut) est :
\[u= \pm (u_0+u_1b+u_2b^2+\dots + u_rb^r),\]
associe le polynôme de $Z[X]$ :
\[f_b(u)= \pm (u_0+u_1X+u_2X^2+\dots + u_rX^r).\]

Cette application $f_b$, bien que très naturelle, n’a pas beaucoup de propriétés sympathiques à part le remarquable critère de Cohn :

  1. $f_b$ est injective mais n’est pas surjective
  2. $f_b$ n’est pas un homomorphisme (ni pour l’addition, ni pour la multiplication)
  3. (Critère de Cohn) Si $u$ est premier, $f_u$ est irréductible.

On peut regarder de plus près ce qui se passe pour les irréductibles.
Certains entiers non premiers impairs ont une image par $f_b$ qui irréductible.

Par exemple, si $u=25$, $f_2(25)= 1+X^3+X^4$ est irréductible dans $Z[X]$.
Démonstration 1: Supposons
\[ 1+X^3+X^4=A(X)B(X) \]
S’il existe un facteur de degré 1 ce ne peut être que $X\pm 1$, c’est impossible. S’il a deux facteurs de degrés 2 alors :
\[f_2(25)= (X^2+aX +\epsilon)(X^2+bX +\epsilon)\]
avec $\epsilon =\pm 1$. Alors $a+b=0$ et
\[f_2(25)= (X^2+aX +\epsilon)(X^2-aX +\epsilon)= (X^2+\epsilon)^2-a^2X^2\]
donc $2\epsilon=\pm 2 = a^2$ ce qui est impossible.

Démonstration 2: $ 1 + 3^3+3^4=109$ qui est un nombre premier. Donc d’après le critère de Cohn le polynôme $1+X^3+X^4$ est irréductible dans $Z[X]$.

La suite des nombres dont l’écriture binaire est un polynôme irréductible de $Z[X]$ est A206074.
Si l’on enlève les nombres premiers (ils sont tous contenus dans cette suite à cause de Cohn), on trouve
A206075 : 1, 25, 55, 69, 77, 81, 87, 91, 115, 117, 121,…
le phénomène est donc assez fréquent.